مساحة سطح الكرة

منذ فجر التاريخ، والإنسان تستفزه الأطوال والمساحات والحجوم، وقد اقترنت هذه المصطلحات بعلوم الهندسة والطبيعيات، فأول ما نشأ منها الهندسة المستوية، وتحتها ظهرت النقطة، والخط المستقيم، والشعاع، والقطعة المستقيمة، ثم ظهرت الأشكال الهندسية المستوية المغلقة، مثل: المثلث، والأشكال الرباعية، والخماسية، والسداسية وهكذا .

ثم ظهرت الأشكال المغلقة المكونة من أضلاع منحنية، كالقوس،والدائرة، والقطع الناقص، والقطع المكافئ، والشكل الإهليجي (دائرة بمركزين، ومثالها مسار المذنبات حول الشمس)، وغيرها .

ثم ظهرت الهندسة الفراغية في المكعبات، ومتوازيات المستطيلات، والمنشور والهرم بأنواعهما، والإسطوانة، والمخروط، والكرة، وغيرها .

ويحسن بنا هنا أن نقف على تعريف ومعنى الكرة، وبإمكاننا تعريفها بأنها "كل النقاط التي تبعد عن نقطة معينة مسافة ثابتة في الفراغ"، والكرة لها خصائص معينة، نذكر منها :

أولاً : أنها شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، أي أنها لا تكتمل أجزاؤها إلا في الفراغ، وليس على مستوى من المستويات .

ثانياً : أن لها حجم ومساحة، ويتأثران بالضرورة ببعد أطرافها عن مركزها، وهذا ما نطلق عليه اسم نصف قطر الكرة، ويرمز له بالرمز (نق) .

ثالثاً : أن مركزها هو النقطة التي يجب أن تمر بها كل الأقطار؛ لذا يعرف الرياضيون قطر الكرة أو الدائرة بأنه "أطول وتر في الدائرة"، لماذا ؟ لأن الوتر هو أي قطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين على الدائرة أو الكرة، ولكن القطر يشترط فيه مرور هذه القطعة المستقيمة بالمركز، ومن شكل الكرة والدائرة، يمكننا معرفة أن الخط المار بالمركز بين نقطتين على وسط الكرة هو أطول الأوتار وهو القطر .

رابعاً : إذا كان للمكعب 4 أقطار، وللهرم عدد من الأقطار تحدده قاعدته، فإن الكرة لها عدد لا نهائي من الأقطار، وكذلك الدائرة .

خامساً : تعد النسبة بين محيط الدائرة وقطرها عدد ثابت، ويسمى (ثابت أرخميدس) ؛ نسبة إلى عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس، وقد تسمى ثابت الدائرة، ويرمز لها بالرمز (ط) أو (?) (باي) باللغة اللاتينية القديمة، ويقدر بـ 3.14 ، أو بصورة أدق حاصل قسمة 22 على 7 .

سادساً وأخيراً : عند إسقاط كرة على أي مستوى، تظهر بأبعادها الحقيقية دائرة مكتملة بنصف قطرها الحقيقي، وذلك على خلاف ما إذا أسقطنا دائرة على أي مستوى خلاف الموازي لمستواها أو العمودي عليه، فسوف تظهر كالقطع الناقص، وهو يشبه إلى حد كبير كرة القدم الأمريكية .

أما مساحة سطح الكرة فهي تساوي مساحة أربع دوائر، ولكن كم تساوي مساحة الدائرة ؟

مساحة الدائرة تساوي حاصل ضرب ثابت الدائرة مضروبا بمربع نصف قطرها، وبالتالي تصبح مساحة الكرة أربعة أمثال حاصل ضرب ثابت الدائرة ضرب مربع نصف قطرها ،وبالرموز فإن مساحة الكرة تساوي 4*ط*نق2 .

أما حجم الكرة فهناك طرق ووسائل عملية، وتقريبية، ومضبوطة لإيجادها، فمنها لو وضعنا مخبار، مدرج فيه ماء قدره نصف لتر مثلا، ثم وضعنا فيه الكرة وارتفع الماء إلى لتر سيكون حجم الكرة نصف لتر، أي 500سم3، أما الطريقة التقريبية، فمعلوم أن مربع مساحته مثلا 3م2، فإذا وصلنا أحد قطريه سيصبح مساحة الجزء 1.5م2، أما إذا استبدلنا القطر المستقيم بقوس، فتقريبا ستصبح مساحة الجزء الأكبر 2م2، والأصغر 1م2، وبالمثل سيكون حجم الجزء الأكبر من مكعب قسمناه من حدّي قطريه بقوس 2م3، والجزء الأصغر 1م3، وإذا جمعنا 4 مكعبات بعضها ببعض ليكتمل عندنا شكل الكرة، سيكون حجمها تقريبا 4*2*نق3، بينما بطريقة أدق فتساوي أربعة أثلاث حاصل ضرب ثابت الدائرة في مكعب نصف قطرها، أي 4/3*ط*نق3 .

بهذا، يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة وحجم أي كرة عمليا ويدويا بصورة مضبوطة أو تقريبية .