البعد بين نقطتين هو المسافة المقاسة بين أي نقطتين في المستوى الديكارتي، ونتكلم هنا عن موضعين على الأرض وليس الفضاء؛ لأن العلماء يستخدمون السنة الضوئية لتقدير المسافة الفلكية؛ لأن سرعة الضوء ثابتة لن تتغير، أما في الهندسة الوصفية فلا يوجد قوانين رياضية لحساب المسافة بين نقطتين؛ بل تستخدم بأساليب إسقاطية.
قانون البعد بين نقطتين
نتكلم هنا عن المسافة بين نقطتين في المستوى الديكارتي، وتكون عبارة عن الجذر التربيعي لمجموع مربع فرق السينات ومربع فرق الصادات، (أب)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)²، حيث (أب) هو طول القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين (أ) و(ب)، و (س1، ص1) إحداثيات النقطة (أ)، و(س2 ، ص2) هي إحداثيات النقطة (ب)، ولإيجاد (أب) نأخذ الجذر التربيعي للطرف الآخر. أمثلة:
مثال (1):
إذا كانت إحداثيات النقطة هي أ(1 ،3) وإحداثيات النقطة ب هي: (5 ،6)، أوجد البعد بين النقطتين أ وب. الحل:
(أب)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)²
(أب)² = (5-1)² + (6-3)²
(أب)² = 4²+3²
(أب)² = 16+9=25
(أب) = 5 وحدات.
مثال (2):
إذا كانت إحداثيات النقطة م هي: (س ،2) وإحداثيات النقطة ع هي: (1، 10) والمسافة بين هاتين النقطتين تساوي 10 وحدات، أوجد الإحداثي السيني للنقطة م.، الحل:
(م ع)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)²
(10)² = (س - 1)² + (10 - 2)²
100 = (س - 1)² + 8²
100 = (س - 1)² + 64
(س - 1)² = 100 -64 = 36
س - 1 = 6
س = 6 +1 = 7
مثال (3):
إذا كانت النقطة ج تأخذ الإحداثيات (3، 1-) والنقطة د تأخذ الإحداثيات (7، 2)، أوجد المسافة بين النقطتين ج ود. الحل:
(ج د)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)²
(ج د)² = (7 - 3)² + (2 - -1)²
(ج د)² = 4² + 3²
(ج د)² = 16 + 9
(ج د)² = 25
(ج د) = 5 وحدات.
مثال (4):
إذا كانت النقطة هـ تأخذ الإحداثيات (3، -5) والنقطة و تأخذ الإحداثيات (-6، -10)، أوجد البعد بين النقطتين هـ و. الحل:
(هـ و)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)²
(هـ و)² = ( -6 - 3)² + ( -10 - -5)²
(هـ و)² = ( -9)² + ( -5)²
(هـ و)² = 81 + 25
(هـ و)² = 106
(هـ و) = جذر 106 وحدة.
ملاحظة مهمة: دائما نأخذ االقيمة المطلقة للجذر؛ لأن المسافة لا تحتمل إجابة سالبة، وكما نعلم فالجذر التربيعي له قيمتان عدديتان متساويتان وبإشارات مختلفة، مثلا الجذر التربيعي للعدد 9 هو إما +3 أو -3، ودائما نأخذ الموجب، أي القيمة المطلقة للقانون وإشارتها (l l)، أي هكذا: l (أب)² = (س2 - س1)² + (ص2 -ص1)² l .
