قانون مساحة الإسطوانة

إن الأسطوانة هي إحدى أشكال المجسمات الهندسية، وهذا المجسم هو ناتج من ابتعاد سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن محور مستقيم يسمى محور الأسطوانة، وهذا المحور هو محور وهمي لا يظهر للناظر، إنتعرف ما هو افتراض تبنى عليه قوانين الأسطوانة. الأسطوانة ببساطة هي عبارة عن قطعة مستطيلة تدور حول أحد أضلاعها دورة تامة، ولذلك فإن المحور الذي تدور حوله الأسطوانة هو محور الأسطوانة، ويسمى الضلع المقابل للضلع الذي تدور حوله الأسطوانة براسم الأسطوانة، أو مولد الأسطوانة، كما أن للأسطوانة قاعدتين دائريتين يتلامس ويلتف حولهما الضلعين الآخرين للقطعة المستطيلة التي تدور حول نفسها بشكل دائري.

إن السبب الشائع لتسمية الأسطوانة بهذا الاسم هو أنها تدور بشكل دائري حول نفسها كما تدور ـسطوانة الدوران حول نقطة معينة تسمى المركز؛ ففي الأسطوانة يكون طرفا المحور الذي تدور حوله الأسطوانة الذي يتوسط قاعدتي الأسطوانة هو مركز قاعدتي الأسطوانة، وهذه هي الأسطوانة الدائرية القائمة.

عند النظر في الأسطوانة وتفكيك هذ الشكل تنتج لدينا ثلاثة أشكال هندسية، أحد هذه الأشكال هو المستطيل الذي هو عبارة عن جوانب الأسطوانة، بالإضافة إلى دائرتين لهما نفس المساحة، ولحساب مساحة الأسطوانة فإنه علينا حساب مساحة المستطيل (المساحة الجانبية)، وتضاف لها مساحة إحدى الدائرتين (القاعدتين) مضروبة في اثنين، وهنا نقدم قانون احتساب مساحة الأسطوانة:

• المساحة الجانبية= محيط القاعدة× الارتفاع.
• محيط القاعدة= نصف القطر× ?

ونستنتج هنا أن المساحة الجانبية هي مساحة المستطيل، ومحيط القاعدة هو محيط الدائرة الذي هو عبارة عن طول أحد أضلاع المستطيل، أما الارتفاع فهو طول الضلع الآخر من المستطيل.

• مساحة القاعدة العليا= نصف قطر الدائرة^2× ?
• مساحة القاعدة السفلى= نصف قطر الدائرة^2× ?

وبالنسبة لمساحتي القاعدتين العليا والسفلى فإنهما متطابقتين، ونستنتج من هذا القانون بأن قانون مساحة القاعدة هو نفس قانون مساحة الدائرة، ونصف قطر الدائرة هو طول الخط المستقيم الذي يصل بين أي نقطة موجودة على محيط الدائرة مع مركز الدائرة، والرمز ? هو قيمة ثابتة وهي تساوي 14 ,3.

• المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + (مساحة القاعدة× 2). وباختصار فإن مساحة الأسطوانة الكلية هي نتاج جمع مساحة المستطيل أي المساحة الجانبية للأسطوانة، مع مساحة إحدى القاعدتين مضروبة بالعدد اثنين.

مثال: خزان أسطواني الشكل، طول قطره عشرة أمتار، وارتفاعه عن الأرض خمسة وعشرون مترا. جد مساحته الكلية إذا علمت أن قيمة ? = 14 ,3.

الحل: محيط القاعدة= نصف القطر× ? 5× 3,14 = 15,7 مترا

المساحة الجانبية= محيط القاعدة× الارتفاع 15,7× 25= 392,5 مترا

مساحة إحدى القاعدتين= نصف قطر الدائرة^2× ? (5)^2× 3,14= 78.5 مترا

المساحة الكلية للأسطونة= المساحة الجانبية + (مساحة القاعدة× 2). 392,5+ (78,5× 2)= 549,5 مترا