أثبت العالم والفيلسوف اليوناني فيثاغورس قبل 580 عاماً من الميلاد، خاصيةً للمثلث قائم الزاوية تجعله ينفرد فيها عن باقي المثلثات (المثلث حاد الزاوية والمثلث منفرج الزاوية)، وقد سميت هذه النظرية باسمه (نظرية فيثاغورس)، غير أن هذه النظرية كانت معروفةً، وقد تم تطبيقها عملياً قبل عصر فيثاغورس، وخاصةً عند المصريين القدماء (الفراعنة)، وتتمثل في بناء الأهرامات.
نصّ نظرية فيثاغورس
تعتبر نظرية فيثاغورس من النظريات الأساسية في علم المثلثات، وتنص على؛ (في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساوياً مجموع مربعي طولي القائمة)، وبعلاقة رياضية، في المثلث القائم الزاوية (أ ب جـ)، الزاوية ب 90o، فإن قانون نظرية فيثاغورس يكون:
- ( طول الوتر )2 = ( طول الضلع المجاور للزاوية القائمة1 )2 +( طول الضلع المجاور للزاوية القائمة2)2.
- (أ جـ)2 = (أ ب)2 + (ب جـ)2.
- حيث يسمى الضلع (أ ب) والضلع (ب جـ) ضلعيْ الزاوية القائمة، ويسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو (أ ج) وتر المثلث.
- ونستنتج من العلاقة السابقة، في حال معرفة طول ضلعين من أضلاع المثلث القائم، وكان الضلع الثالث مجهولاً، وبحسب نظرية فيثاغورس، سنجد طول الضلع الثالث.
- مثال (1): احسب طول الضلع (أ جـ) في المثلث (أ ب جـ) القائم في (ب)، بحيث طول الضلع (أ ب) = 6سم، وطول الضلع (ب جـ) = 8سم؟
- الحل: بما أن المثلث (أ ب ج) قائم الزاوية، وحسب قانون نظرية فيثاغورس فإن:
(أ جـ)2 = (أ ب)2 + (ب جـ)2 = ( 6 )2 + ( 8 )2 = 36 + 64 = 100، إذاً طول الوتر (أ جـ) = 10سم.
- مثال (2): في المثلث (د هـ و) قائم الزاوية في (هـ)، طول الضلع (د هـ) = 5سم، وطول الضلع (هـ و) = 12سم.
- الحل: (د و)2 = (د هـ)2 + (هـ و)2 = ( 5 )2 + ( 12 )2 = 25 + 144 = 169، إذا طول الوتر (د و) = 13 سم.
- مثال (3): في المثلث (س ص ع) قائم الزاوية في (ص)، طول الوتر (س ع) = 5سم، وطول الضلع (س ص) = 4سم، أجد طول الضلع (ص ع)؟
- الحل: (س ع)2 = (س ص)2 + (ص ع)2، من السؤال نعوض قيمة (س ع)2 = 25، وقيمة (س ص)2 = 16.
إذاً 25 = 16 + (ص ع)2، ننقل 16 إلى طرف المعادلة مع تغيير الإشارة، إذاً (ص ع )2 = 25 – 16 = 9، إذاً طول ضلع القائمة (ص ع ) = 3سم.
- مثال (4): في المثلث القائم (ل م ن)، أوجد قيمة الضلع (ل م)، بحيث طول الضلع (ل ن)= 15سم، وطول الضلع (م ن)= 12سم؟
- الحل: ( ل ن)2 = (ل م)2+ (م ن)2 ، عن طريق التعويض نجد أن طول ضلع القائمة ( ل م)2 = ( 15 )2 – ( 12 )2 = 81، إذاً طول ضلع القائمة (ل م) = 9سم.
